三角形的五心及其性质是什么…( 二 ) _角形

∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
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四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
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五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为二比一。
2、重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
3、重心到三角形三个顶点距离平方的和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，其横坐标为三角形三个顶点的横坐标之和的三分之一，其纵坐标为三角形三个顶点的纵坐标之和的三分之一。直角坐标系同理
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在三角形ABC中，若MA向量加MB向量加MC向量等于零向量，则M点为在三角形ABC的重心，反之也成立。
7、设三角形ABC重心为G点，所在平面有一点O ，则向量OG等于向量OA加上向量OB加上向量OC的和的三分之一。
重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。三角形abc，e、f是ab，ac的中点。ec、fb交于g 。过e作eh平行bf 。ae=be推出ah=hf=1/2afaf=cf推出hf=1/2cf推出eg=1/2cg2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明方法：在▲abc内，三边为a，b，c，点o是该三角形的重心， aoa1、bob1、coc1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，oa1=1/3aa1，ob1=1/3bb1，oc1=1/3cc1过o，a分别作a边上高h1 ， h可知h1=1/3h