有理数和无理数|从有理数与无理数的比较开始( 二 )

补充一下可数集概念：能与百思特网自然数集建立一一对应关系百思特网的集合。

可数集的基数是最小的无穷量，康托尔把这个量记为?0（希伯来文，读作“阿列夫零”）。同时康托尔指出，阿列夫零是最小的无穷量，那比阿列夫零更大的无穷在哪呢？

NO.4上场吧！无理数

无理数可数吗？或者说实数可数吗？

答案是：NO

康托尔运用对角线法来论证这一点，证明过程很短，却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）

考虑整个实数集是否可数，我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：
0.1598545445……
0.6589745454……
0.5968974132……
0.9887946456……
0.3521587487……
0.1659842412……
……
以上的数随便写的，此时康托尔问，0.267865……在什么位置？

这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1，取第二个数的第二位小数加1，取第三个数的第三位小数加1，取第四个数的第四位小数加1……，也就是上面数中红色的数字加1 。

假如0.267865……在第n个位置上，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1 。

简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1 。显然这是不可能存在的！

所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来，当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。

像这样的无穷称为不可数无穷，不管你承认还是不承认，同样是无穷，也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。

在数轴上任取一段线段，由这些连续着的点构成的集合均为不可数集，又称连续统。基数记为c 。

NO.5 c=?1

既然已经明确了有理数代表着可数无穷，而无理数则代表着不可数无穷，那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说，?0与c谁更大呢？

事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0 。

无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、有限小数和无限循环小数，我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数，举个例子，1.8=1.800000……，后面的小数位都是0 。

现在我们给一个数填充小数位，有无数个小数位需要我们填充，而填充的数字都是随机取的，所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0 。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！

怎么样能够比无穷还要多？

对于集合{1}，它有两个子集：空集、{1}，子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}，它有四个子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集组成的集合的基数为2^2，以此类推，若一个集合的基础为n，则其子集构成的幂集基数是2^n 。

那如果原集合的基数是?0呢？

事实上，康托尔已经证明出，c=2^?0，这里的?0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？

康托尔所做的事情不止于此，他还猜想，在?0和c之间不存在其他的无穷，即在?0后的下一个无穷量便是c，即c=?1（?1即?0后一个无穷量），这就是著名的“连续统假说” 。1900年世界数学家大会上，希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。

NO.6 数轴上见分晓！

关于数轴，我们都知道数轴上的点与实数是一一对应的，或许会存在这样的想法，任意两个有理数之间还存在无数个有理数，此外有理数与有理数之间还会有缝隙，那便是无理数，这个缝隙有多少并不为我们所知，但两有理数之间还存在着无数个有理数是必然的。

所以有人会说有理数像砖，构成了数轴的主体，无理数像是胶水，把砖与砖之间的缝隙补充完整，构成一条完整的数轴。

从两者的数量对比来看，显然以上的想法大错特错，无理数更像是构成数轴的砖，占据着数轴的绝大部分。说来说去其实就是这么一个问题：有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

借用一下狄利克雷函数：

这就是把有理数与无理数作个分离，那函数图像长啥样？也许是这样？