一元二次不等式的解法|高一一元二次不等式解法

一元二次不等式的解法（高一一元二次不等式解法）原创吴国平数学教育2017-10-19 16:41:06

在高考数学当中，与解不等式相关的题目一直是高考数学的热点和必考考点之一，应用非常广泛。如在求函数的定义域、值域、求参数的取值范围等等，都需要用到解不等式相关的知识内容。
从历年高考数学试题来看,与解不等式相关的内容几乎每年都会考到,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式。如一些问题往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系。
不等式相关的高考数学试题一般考查不等式的基本概念、不等式基本性质、二元一次不等式（组）、一元二次不等式等等知识上面。
为了更好帮助大家学习和掌握好不等式的知识，今天我们就一起来讲讲一元二次不等式相关知识内容，以及解法等等。
一元二次不等式是高中数学的重要内容之一，也是高中数学教学中比较稳定的内容，在高考中也常常与数列、解析几何、向量、函数等结合在一起,考查学生对数形结合、函数与方程、化归、一般与特殊相互转化等等数学思想方法掌握情况。

学好数学，能很好锻炼和培养一个人的逻辑思维能力，一元二次不等式相关的知识内容、方法技巧，所蕴含丰富的数学思想等等，这些都能很好帮助一个人提高逻辑思维能力，学好中职数学有必要将内容各个击破，做好针对性训练，为升学打下坚实基础。
那么，什么是一元二次不等式？
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax+bx+c>0 、ax+bx+c≠0、ax+bx+c<0（a不等于0）。
要想学好一元二次不等式的内容，会运用一元二次不等式知识解决问题，就必须理解一元二次不等式的解集。
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：

若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
典型例题分析1：
解下列不等式：
(1)0＜x2－x－2≤4；
(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．百思特网

(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．
当a＜0时，x＜5a或x＞－a；
当a＞0时，x＜－a或x＞5a.
综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a，或x＞-a}；
a＞0时，解集为{x|x＞5a，或x＜-a}.
解题反思：
认真掌握好解一元二次不等式的一般步骤：
1、对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
2、计算相应的判别式；
3、当≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
4、根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集；
5、解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏。

要想正确解出一元二次不等式，我们一定要应注意以下四个问题：
1、在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；
2、二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况；
3、解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；
4、一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同。
典型例题分析2：
解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤4/3，
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤4/3}.
(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以(x-1/a)(x－1)＜0.
所以当a＞1时，解为1/a＜x＜1；
当a＝1时，解集为?；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜1/a.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜1/a}；
当a＝1时，不等式的解集为?；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1/a＜x＜1}.

对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．