第二类换元积分法,第二类换元法是什么?( 二 )

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3、高数积分第二类换元法简单分析一下，答案如图所示
不定积分第二类换元法的精髓就在于“反函数”,将原来式子中复杂的代数式用一个简单的未知变量来将其代换,得到一个等式,用新的、简单的未知量求出积分,再用原来那个等式解出新变量,将其带入最后的结果中.例如求（a^2-x^2）^1/2对x的不定积分,可以用第二换元法设 x=a sint （则t=arcsin x/a）,将这一等式中的x代入原来积分式子,得到的只是关于新变量t的三角关系式,这个式子很简单了,可以积分出来,再把t用x代回（即再代回反函数）.
一般地,应用第二类换元法的常见不定积分类型和所作的变量替换有一下三种：
1、含有二次根式的积分,如上面的例子,所做的换元是“三角代换”.
2、被积函数是关于x的有理根式的积分,这时就要用“幂指代换”消去根式.
3、分式函数,且分子的幂低于分母,可以作一个 t=1/x的代换,消去分母中的变量因子,称为“倒代换”.
4、“指数代换”,一般不会用到,若被积函数含有指数函数,可以将指数函数用一个变量代换.
用得最多的是第一种,“三角带换”.只要把反函数搞清楚了,第二类换元法就不难了,精髓在于合理地代换原函数与反函数.
符号不好打出来所以字比较多,多看看课本上的例子吧.

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4、关于不定积分的第二类换元法换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint，源式化为 a*cost 。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t) 。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令 x = 1/t）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m＞1时，用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 t = tan(x/2) 。