第二类换元积分法,第二类换元法是什么?( 三 )

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F，即F ′ = f 。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
三角万能公式：
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t).两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分.由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分.
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b）,可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2）,令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2）,令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2）,令 x = asect
分部积分法：
设函数和u ， v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu 。移项得到udv=d(uv)-vdu 。
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu 。⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 。
：不定积分_百度百科
不管是不定积分第一类换元法，还是第二类换元法，都是采用变量代换的方法，来达到简化不定积分的目的。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t) 。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令 t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令 x = 1/t）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m＞1时，用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 t = tan(x/2)
第二类换元法的目的是为了消去根号，化为简单函数的不定积分。它分为根式换元和三角换元。可以令x=以另外变量t的函数（此函数要存在反函数），把这个函数代入原被积表达式中，即可得到一个以t为积分变量的不定积分，这个不定积分若容易求设结果为F（t）+C,则要把这个结果中的t换回x的函数（即上面提到的反函数），就搞掂啦！记得给分给我哦