3-i 3秒内学霸心算出Z=/(1+2i)的模，诀窍在哪？

0. 问题提出
在近期用2019年高考数学全国I卷进行的测评中，偶然发现有同学在求Z=(3-i)/(1+2i)的模时，草稿纸留下一串的复数运算过程。这说明还有同学未熟练掌握‘因式相乘与相除型复数的模’的妙解通法。试问：

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1. 因式相乘与相除型复数的模的通法
1）若有因式相乘型的复数Z = (a+bi)(c+di)，求|Z|?
一般地，先整理、化简：
Z = (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i ，
所以

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= |a+bi||c+di| 。
结论1：两个因式相乘型复数的模，等于两个因式的模之积。
推论1：不难推出，结论1可推广到连乘的因式超过两个的情形：

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2) 若有因式相乘型的复数Z = (a+bi)/(c+di)，求|Z|?
【3-i 3秒内学霸心算出Z=/(1+2i)的模，诀窍在哪？】一般地，先整理、化简：

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结论2：两个因式相除型复数的模，等于分子的模除以分母的模。
推论2：由上述推论1不难推出，结论2可推广到分子与分母多于1个因式的情形：

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2. 典型示例（高考真题）
例1(2019年高考数学文科全国I卷) 设z= (3-i)/(1+2i)，则|Z|=___ 。
解：依题意，

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（提示：一般地，高中生均可心算得出结果）
例2（2017江苏）已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模=___ 。
解：依题意，

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（提示：一般地，高中生均可心算得出结果）
例3（2017新课标Ⅲ理数）设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=____ 。
解：依题意，

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（提示：一般地，高中生均可心算得出结果）
全文小结：
① 本文推导了求解‘因式相乘与相除型复数’的模的两个推论——即推论1和推论2 。当遇到求解因式相乘与相除型复数的模时，利用这两个推论，既能解得快又不易出错——避开了难免犯错的四则运算过程。
② 大家知道，一个学习态度端正、基础扎实的同学，要进一步提升，综合能力是关键。而本文通过论述求特定型态复数的模的通法，启发同学们在学习过程中，要多思考、求甚解——这是快速地提高学习能力和成绩的好的、有效的方法与习惯。
③ 本号及其文章一贯倡导和启发大家勤于思考、乐于动手、善于总结，轻快学习，成为高分高能真学霸。若您觉得本号文章有帮助，可关注本号“轻快学习课堂”，以便捷地查找、阅读以前发表的相关文章以及新发表的文章。