狄利克雷函数为什么是周期函数,狄利克雷函数为什么是周期函数

1、狄利克雷函数为什么是周期函数狄利克雷函数是周期函数证明：取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1 ，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0 ，即f(x)=f(x+T) 。综上，狄利克雷函数是周期函数。
证明过程狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。
显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1 ，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0 ，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T) 。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。
狄利克雷函数狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
周期函数对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

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2、怎样谈论狄克雷函数的有界性,单调性,周期性与奇偶性狄克雷函数是分段函数，函数形式是：
f（x）=1（x是有理数）；=0（x是无理数）。
这个函数永远不大于1，所以1是其上界。
【狄利克雷函数为什么是周期函数,狄利克雷函数为什么是周期函数】这个函数永远不小于0，所以0是其下界。
所以这个函数是有界的。
因为设a为正有理数，当x是有理数时， x+a也是有理数；当x是无理数时，x+a也是无理数。所以f（x+a）=f（x），所以任何正有理数都是狄克雷函数的周期，所以这个函数是周期函数，但是无最小正周期。
狄克雷函数是分段函数，函数形式是：
f（x）=1（x是有理数）；=0（x是无理数）
这个函数永远不大于1，所以1是其上界
这个函数永远不小于0，所以0是其下界
所以这个函数是有界的。
因为设a为正有理数，当x是有理数时，x+a也是有理数；当x是无理数时，x+a也是无理数。所以f（x+a）=f（x）
所以任何正有理数都是狄克雷函数的周期，所以这个函数是周期函数，但是无最小正周期。
因为有理数任意大小的领域内，都有无理数；无理数的任意大小的领域内，都有有理数。
所以这个函数无单调区间。

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3、狄利克雷函数是周期狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数.}
对任何正有理数T,X+T与X同为有理数或无理数,
故,D（X+T）=D（X）
所以,狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数.（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期.因为没有最小的正有理数.）

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4、为什么狄利克雷函数是周期函数?直接验证D(x+1)=D(x) ，所以1是D(x)的一个周期

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5、什么是狄立克雷函数?怎么证明它是偶函数和周期函数?狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0.
显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
1、定义域为整个实数域R
2、值域为{0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
1、处处不连续。
2、处处不可导。
3、在任何区间内黎曼不可积。
4、函数是可测函数。
5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。
狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0 。
显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。