纳皮尔筹的原理,纳皮尔筹——老外是如何「运筹帷幄」的

1、纳皮尔筹――老外是如何「运筹帷幄」的☞ 欢迎来到神奇的01世界 ☜
顾名思义，纳皮尔筹就是一个叫纳皮尔的人发明的算筹。
纳皮尔作为苏格兰著名的数学家并没有太过著名，想必大多数人都闻所未闻，然而他发明的一个数学概念却是每个高中生都会掌握的、大名鼎鼎的对数。看来纳皮尔没有把对数命名为纳皮尔数，这波真是亏大了。
纳皮尔出生于一个地主家庭，但他没有按照惯例成为一个傻儿子。他的父亲不仅是地主、官员，还是苏格兰造币厂的老大，16岁就……少来得子；他的母亲也是个门当户对的官二代；后来这个丧心病狂的家族还专门用自己的姓氏创立了一个爵位——纳皮尔勋爵，这波不亏了……
作为一个贵族，纳皮尔自小接受家庭私教，没上小学，到了13岁……就被送去了圣安德鲁斯大学；大学没上多久又辍学跑到欧洲大陆进修，但没人知道他在21岁回来前都进修了些啥（是的21岁就完成了大学之后的进修）；24岁买了座城堡住了几十年， 58岁父亲死后又搬到了父亲的城堡里去，一直住到67岁去世。除了显赫的家世，纳皮尔自身的生平实在没有留下多少令人津津乐道的故事。
他就像卯足了一生的劲，要为数学界做出一些贡献，靠生命中的最后三年名垂青史。
1614年，64岁的纳皮尔出版了《奇妙的对数表的描述》一书，成为人类从上帝手中取得对数的标志。后人把书中提到的一种特殊对数称为纳皮尔对数：
PS：第一次用Markdown写公式，真好。希望不会吓跑跟我一样害怕数学的读者……
有了对数，乘除就能化简为加减，大大减轻了当时科学界的计算量。
无独有偶，纳皮尔筹的发明同样也是为了将乘除等复杂运算降解为加减。
1617年，介绍纳皮尔筹的专著《Rabdologiæ》[1]在爱丁堡出版，67岁的老纳皮尔潇洒辞世，留给世人对数之外的第二件珍贵遗产。
纳皮尔筹材质多样，木质、金属、硬纸板，英文叫做Napier’s Bones，也许最早用的是兽骨（可不是纳皮尔的骨头?。? ，因此也常称纳皮尔骨筹；由于形状是一根根的小棒，也常称纳皮尔棒。
虽是筹算，纳皮尔筹却用到了一个「算盘」，在计算时盛放算筹。算盘的左边框从上至下标注着 1~9 ，与每根算筹上的9个方格一一对应。算筹有10种，筹上的方格里分别填着 0~9 与左边框数字的乘积，简单地说，这是一张九九乘法表。
除了顶部的第一个方格，下面的8个方格都划有对角线，将十位数与个位数分开，这么做是为了使用了一种叫做格子乘法（或更形象地称之为百叶窗乘法）的算法。举个例子：
取用被乘数6、7、8、5四根筹，而后把目光投到第8行上：
以斜线为界，对每一位进行相加，超过9时通过心算进行进位：
这是最简单的乘法，除法的步骤稍微复杂一些，开方运算则更加繁复，还需要引入一种专用的新筹，具体算法在此展开的意义不大，感兴趣的朋友可自行移步维基娘。
《Rabdologiæ》被译成多种文字（包括中文），纳皮尔筹风靡一时，后来出现了许多改进和变种，比如把筹做成可以旋转的圆柱：
此类圆柱形纳皮尔筹给后来机械式计算器的问题提供了灵感，以德国的威廉·契克卡德（Wilhelm Schickard）、意大利的蒂托·布拉蒂尼（Tito Burattini）、英国的塞缪尔·莫兰（Samuel Morland）、法国的勒内·格里耶（René Grillet）为代表的一众机械计算先驱都以纳皮尔筹为基础构建了机械式计算器。
到了19世纪，为了便于读数，干脆把纳皮尔筹做成了斜的：
1628年传入中国后，也出现了各式各样的本土化变形，比如清代数学家梅文鼎把它改成了以半圆代替对角线的横筹：

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2、契克卡德计算钟――被遗忘的第一台机械计算器☞ 欢迎来到神奇的01世界 ☜
一个问题：世界上谁发明了第一台机械式计算机？
长久以来，学界一致认为是布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）——对，就是那个成为压强单位的法国大物理学家帕斯卡。不过他发明的机器我们下回分解，今天的主角另有其人。
1935年，后人在整理天文学家开普勒（对就是那个成为望远镜的开普勒）留下的研究资料时发现了几张三百年前的图纸，当时人们不知道上面画的是什么玩意儿，直到22年后的1957年，一位开普勒的传记作者才认出来，那是史上真正的第一台机械式计算机，它比帕斯卡机的诞生早了约20年。
我想帕斯卡是不会在意失去这第一的位置的。
这副草图从开普勒的一本书中滑落，八成是用做书签了，谢天谢地开普勒没有随手丢弃，尘封的历史才得以重见天日。
这副草图出自一位名不见经传的德国天才威廉·契克卡德，你一定闻所未闻，在历史的长河中他能有所留名也正是仰仗了这台只在纸上留传下来的机器，如果不是研究计算机历史，我们肯定对帕斯卡和开普勒更感兴趣。
那么这台机器是如何计算的呢？它的稿纸又为什么会出现在开普勒的遗产中呢？且听我细细道来。
契克卡德的人生轨迹非常简单，几乎一辈子都没怎么离开家乡。他出生于德国一个叫黑伦贝格（Herrenberg）不是呼伦贝尔啊的小镇，长大后去了离家只有几十公里远的图宾根大学学习神学和犹太语，17岁获得学士学位，19岁硕士毕业，妥妥的文科生一枚。毕业之后又在学校深造了两年，继续钻研阿拉米语、希伯来语这一类撰写圣经的犹太语，21岁踏足社会，第一份工作专业对口——路德教会的牧师，一干就是6年。也许是学术水平过于出众，27岁年纪轻轻就被母校聘为教授，教了12年的希伯来语。
然而这中规中矩的职业生涯却是假象，契克卡德并不是个「安分守己」的「语文老师」，他的研究领域甚为广泛，上至天文学、下至测量学，既hold得住数学、又搞得了发明，他在地图绘制领域颇有建树，还造过一台组合希伯来语词根的教具，甚至对政治也很有见地，专门写过论文[1]。智力水平自有教授之职来证明，动手能力居然还有雕刻家之名在任性。这也难怪，人家出生雕刻世家，爷爷和父亲都是干这行的。
俗话说物以类聚人以群分，这样一位令人惊叹的全才自会交到同样令人钦佩的天才，说的就是约翰尼斯·开普勒。
俗话又说所谓缘分就是人生轨迹的交集，开普勒年轻时的人生轨迹和契克卡德简直一毛一样：同样求学于图宾根大学，同样在路德教会当过牧师，还「共享」了同一位恩师—— Michael Maestlin。正是这位恩师，在1617年开普勒回图宾根办事的时候引见了二人。
恩师内心OS：契克卡德这小伙子不错啊，两个都是我引以为傲的学生，一定能擦出点基情的小火花，十八只蹄髈势在必得，嘿嘿嘿。
这一年，开普勒46岁，契克卡德25岁，一个是曾经的牧师，一个还正在教堂干着，在教会以地心说维系统治地位的时代，两个「离经叛道」的日心说支持者一见如故。除了探讨天文学上的问题，开普勒还请契克卡德为他的书制作木刻插画[2]。开普勒离开图宾根后，两人还保持着书信联系，契克卡德甚至还帮忙照看了正在图宾根上学的开普勒之子。
1623年9月20日，契克卡德在信中提到自己构思了一种计算机器，可以帮助开普勒计算月球轨道和星历表，开普勒当然很感兴趣，回信讨要了一台。契克卡德便委托当地一位叫约翰尼斯·菲斯特的能工巧匠制造这台机器，结果还没造好呢，就在1624年2月22日夜间的一场火灾中毁了，契克卡德本来就对齿轮的做工不够满意，也懒得再造了，只得在三天之后写信告知开普勒这个噩耗，并附上了一些「纸上谈兵」的图文解说。
学术界基本认为，契克卡德在写第一封信时已经建成了一台原型机，只不过这台机器也最终下落不明，没能留下任何实物。
契克卡德这台传说中的机器后来被称为Rechenuhr，德语中 Rechnen 表示「算术」，uhr 表示「时钟」，Rechenuhr便通常译为「计算钟」。跟「钟」有什么关系呢？因为当计算结果溢出（超出6位数）时，机器会发出响铃警告，这样的设计在当时可谓相当智能。
契克卡德的手稿被辨认之后，图宾根大学一位名叫布鲁诺·冯·弗雷塔格-洛林霍夫（Bruno von Freytag-Löringhoff）的学者立刻开展了相关研究，并于1960年做出了计算钟的复制品。
计算钟支持六位整数计算，主要分为加法器、乘法器和中间结果记录装置三部分，它们虽然集成在同一台机器上，但相互之间没有任何物理关联。位于机器底座的中间结果记录装置是一组简单的置数旋钮，主要是为了省去计算过程中笔和纸的参与，没什么可说的，我们详细了解一下加法器与乘法器的实现原理和使用方法。
乘法器部分其实就是对圆柱形纳皮尔筹的封装，将 0~9 的乘法表印在圆柱面上，圆柱顶端的旋钮分有10个刻度，每旋转36°，就能依次将0与 0~9 的乘积、1与 0~9 的乘积……9与 0~9 的乘积面向使用者。共有6根圆柱，依次旋转6个旋钮即可完成对被乘数的置数。横向有 2~9 八根掏有空窗的挡板，代表乘数，左右平移某根挡板便可露出6根圆柱在这一行上的数字，即该乘数与被乘数每一位的乘积。
以上面这张纪念邮票上的图案为例，被乘数通过机顶旋钮置为100722，乘以4，就移动4的那根挡板，露出100722各位数与4相乘的积：04、00、00、28、08、08，心算将其错位相加得到最终结果402888 。
加法器部分通过齿轮实现累加功能，6个旋钮同样分有10个刻度，旋转旋钮就可以置六位整数。为让大家可以清晰直观地了解单个旋钮的内部结构，有请我的御用设计师 S7 制作精美的爆炸图：
【纳皮尔筹的原理,纳皮尔筹——老外是如何「运筹帷幄」的】 需要加上一个数时，从最右边的旋钮（表示个位）开始顺时针旋转对应格数。以笔者生日（1991年3月15日）为例，计算
这一过程最关键的就是通过齿轮传动实现的自动进位。计算钟使用单齿进位机构（single tooth carry mechanism），通过在轴上增加一个只有一个齿的齿轮来实现，不妨称之为单齿轮。
我们约定一下：
图中，右上方联动的为某低位的单齿轮与十齿轮，每顺时针旋转一周，左下方的辅助轮就被带动一格。注意，辅助轮的转向是逆时针的。要在进位时保证高位轮和低位轮的旋转方向一致，就必须增加这样一个辅助轮。
下面我们把高位轮也画出来，并将低位的齿轮间距还原到正常的样子，观摩一下这一进位的整体过程：
你会发现与低位轮相反，高位的单齿轮位于十齿轮背后。事实上，6个数位的传动轮，其单齿轮和十齿轮的前后顺序都是这样依次交替的， 5个辅助轮也相应的一前一后不断交替。开动一下脑筋，想想为什么需要这样设计。
单齿进位的原理看似简单，在实际实现时，其实很难使高位轮严格旋转36°，复制品做了一些优化才得以成功。
相信聪明的读者已经可以想到减法怎么做了，没错，就是反向旋转加法器的旋钮，单齿进位机构同样可以完成减法中的借位操作。
而用这台机器进行除法就有点「死脑筋」了，你需要在被除数上一遍又一遍不断地减去除数，自己记录减了多少次、剩余多少，分别就是商和余数。
由于乘法器单独只能做多位数与一位数的乘法，因此通常需要使用加法器配合完成多位数的相乘：
计算钟是纳皮尔筹的一种改进，有了加法器，不但弥补了纳皮尔筹不能做加法的缺陷，还为多位数乘法提供了有力助攻。
总的来说，计算钟结构比较简单，但依然是人类从手动计算到自动计算的伟大初探，是计算机史上一个重要的里程碑。
契克卡德的一生短暂而精彩。
1631年，随着恩师Maestlin的与世长辞，契克卡德接过了他数学、天文学教授的交椅，正式成为天文学领域的专家。此后的契克卡德继续秉持着爱好广泛、「不务正业」的特质，除了正课，还在大学里讲授建筑学和水力学，简直无所不能。
直到规模浩大的欧洲三十年战争如凶猛的洪水倾覆了契克卡德的人生之舟。1634年，天主教的军队占领了图宾根，也带来了可怕的黑死病，契克卡德一家无人幸免。一年后，这位年仅43岁的年轻教授在先后目睹了妻子和子女的离世之后，自己也于10月份离开了人世。
1651年，月球表面的一座环形山被命名为契克卡德[3]。如今，图宾根大学的计算机学院也叫契克卡德计算机学院（the Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik），以纪念这位鼻祖级的杰出校友。
他所留不多，有点分量的仅是在计算机史上占据一角的那两封书信。但我相信，他的才学，影响过图宾根的亲友，启迪过数以百计的优秀学子，这些微妙的影响，像一只绚丽的蝴蝶扇动了翅膀，改变着那以后的世界。

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3、纳皮尔筹怎么算除法?纳皮尔筹：15世纪后，「格子算法」通行于中亚细亚及欧洲，纳皮尔筹便是根据了「格子算法」的原理，但与格子算法不同的是它把格子和数字刻在「筹」〔长条竹片或木片〕上，这便可根据需要拼凑起来计
算。
纳皮尔筹又叫“纳皮尔计算尺”，它是由十根木条组成的，每根木条上都刻有数码，右边第一根木条是固定的，其余的都可根据计算的需要进行拼合或调换位置。纳皮尔只不过是把格子乘法里填格子的工作事先做好而已，需要哪几个数字时，就将刻有这些数字的木条按格子乘法的形式拼合在一起。纳皮尔筹与中国的算筹在原理上大相径庭，它已经显露出对数计算方法的特征。
纳皮尔筹也传到过中国，北京故宫博物院里至今还有珍藏品。
纳皮尔筹的发明
据说，纳皮尔筹是在1612年发明的。纳皮尔筹可以用加法和一位数乘法代替多位数乘法，也可以用除法和减法代替多位数的除法，从而简化了计算。
纳皮尔筹的计算原理
纳皮尔筹的计算原理是“格子”乘法。例如，要计算934×314，首先将9，3，4和3，1，4摆成如下图所示，遇到对角线上的两上数字就加在一起，这就容易得到934分别乘以3，1 ， 4的结果为2802，934和3736，然后再错位相加，就得到所要求的结果293276 。这种简单的计算器在当时很受欢迎，流行了许多年。在清代，它与笔算、比例规算法等一起传入中国，北京故宫博物院至今还藏有纳皮尔筹。
纳皮尔
纳皮尔(1550～1617年),苏格兰数学家,对数的创始人。他的最大贡献是发明了对数。纳皮尔的杰作《奇妙的对数定律说明书》于1614年6月在爱丁堡出版。但直到后来布里格斯将纳皮尔创立的对数改为常用对数,它才得到广泛使用。

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4、计算器的原理如下：
具有记忆功能的计算器，又称科学型计算器。它是可以查看历史计算操作步骤，计算器显示屏上会出现上下分行显示。使用者同时看到输入数据、运输方式和所得结果。其次，具有记忆功能的计算器还可以进行复杂运算，包括括号识别和运算顺序识别。
无记忆功能的计算器，又称简单计算器。它可以进行简单的加、减、乘、除四则运算，但是不能运算顺序，不能进行操作计算步骤的记忆。计算器的显示屏上也只能显示一组数据，一般为实物计算器。
近代发展
早期的计算器为纯手动式，如算盘，算筹等。算盘通常是以滑动的珠子制成。在西方，算盘在印度阿拉伯数字流行前使用了数个世纪，且在近代中国的记帐与商务上仍广泛使用。后来出现机械计算器。
17世纪初，西方国家的计算工具有了较大的发展，英国数学家纳皮尔发明的纳皮尔算筹，英国牧师奥却德发明了计圆柱型对数算尺。
这种计算尺不仅能做加减乘除，乘方，开方运算，甚至可以计算三角函数，指数函数和对数函数，这些计算工具不仅带动了计算器的发展，也为现代计算器发展奠定了良好的基础，成为现代社会应用广泛的计算工具。

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5、筹算的纳皮尔算筹napier suanchou，亦称“纳皮尔计算尺” 。一种能简化计算的乘法速算器，由英国数学家、对数的发明人纳皮尔发明。如右图，它由十根木条组成，每根木条上都刻有数码，右边第一根木条是固定的，其余的都可以根据计算的需要进行拼合和调换位置。这种算筹可以用加法和一位数乘法代替多位数的乘法，也可以用除数为一位数的除法和减法代替多位数的除法，从而简化了计算。其计算原理的“格子乘法” 。例如，要计算934×314，首先将9 ， 3，4和3，1 ， 4摆成如下图所示，遇到对角线上的两上数字就加在一起，这就容易得到934分别乘以3，1，4的结果为2802 ， 934和3736，然后再错位相加，就得到所要求的结果293276 。这种简单的计算器，在当时很受欢迎，流行了许多年。在清代与笔算、比例规算法等一起传入中国，北京故宫博物院至今还藏有此算筹。17世纪初，计算工具在西方呈现了较快的发展。首先创立对数概念闻名于世的英国数学家纳皮尔（J.Napier），在他所著的一本书里，介绍了一种新工具，即后来被称为“纳皮尔算筹”的器具。纳皮尔出身在苏格兰一个贵族家庭，13岁就进入圣安德鲁斯大学学习。作为一个天文爱好者，他曾醉心于钻研占星术，自然而然进入到数学计算的领域。纳皮尔想过许多办法来简化天文数值计算，终于在1614年提出了对数的概念，成为与17世纪出现的解析几何、微积分一样重要的数学方法，纳皮尔也因此一举成名。据说，纳皮尔的这种器具发明于1612年，它由一些长条状的木棍组成，木棍的表面雕刻着类似于乘法表的数字。纳皮尔用它来帮助进行乘法计算，他根据乘数和被乘数排列好木棍的顺序，仅需要做简单的加法就能计算出乘积，从而大大简化了数值计算过程。纳皮尔算筹与中国的算筹在原理上大相径庭，它已经显露出对数计算方法特征。
纳皮尔开创的对数概念影响了一代数学家，英国牧师奥却德（W.Oughtred）就是其中的佼佼者。虽然这位牧师后来爬到了主教的位置，仍然把全部业余时间花在数学上，甚至一天只睡二三个小时。他发明的乘法符号“×”一直沿用至今。