魏尔斯特拉斯|大器晚成的数学伟人—魏尔斯特拉斯( 二 )

求椭圆弧长的问题引发了对椭圆积分的研究，这种积分不能用初等函数表达，所以研究起来十分困难。真正的突破后来才由阿贝尔实现，他考虑的椭圆积分的反函数—椭圆函数。雅克比后来发展了阿贝尔的理论，但他同样没有真正发现椭圆函数的真正意义。魏尔斯特拉斯在阿贝尔的指引下，艰难地向着高峰前进，白天没有时间，只好通宵达旦地研究，这样的研究是孤独的，但这丝毫没有动摇他的决心。1848年，魏尔斯特拉斯得到了一次小小的晋升，他被调到一所条件好一点的预科学校教书，而且幸运的是这里的图书馆书籍还算完备。
1853年夏天的假期，魏尔斯特拉斯回到了久违的家中，父亲已经苍老，弟弟妹妹也已经长大成人。也正是在这个假期，他对椭圆函数的研究取得了重要进展，只等临门一脚。回到学校后，他仍然夜以继日的研究。终于在一天早上，学生的喧闹声惊动了老校长，原来魏尔斯特拉斯已经两天没有来上课了，这吓得校长直奔他的住处查看，这才知他已不知时日的研究了两天两夜了。一篇关于阿贝尔函数划时代意义的论文就这样由一位名不见经传的中学教师完成了！
维尔斯特拉斯以自己独特的思想和完备的方法，改写和美化了椭圆函数理论。他决定以阿贝尔为榜样，把它寄给柏林的《克莱尔杂志》发表，他相信这将引起轰动。《克莱尔杂志》没有使他失望，在1854年第47卷上，杂志全文刊登了维尔斯特拉斯的这篇论文。这是《克莱尔杂志》对数学发展作出的又一个重大贡献。论文一经发表立刻引起巨大的轰动。不仅因为这么一篇伟大杰作出自一位不知名的偏远的乡村教师之手，而且这是一项规模宏大的工程，文中包含了大量创造性的成果，直接将椭圆函数论的研究推到了全新的高度。做为椭圆函数论发源地之一的柯尼斯堡大学异常兴奋，雅克比的继承人理查劳特亲自跑来魏尔斯特拉斯所在学校，向他颁发了学校的荣誉博士学位。教育部，杂志社编辑等都纷纷前来祝贺。可谓一朝成名天下知！

1857年，最终在数学界的不懈努力下，魏尔斯特拉斯来到柏林工业大学（后来转任柏林大学教授，直至去世）任数学教授，同年被选举为柏林科学院院士，此时的魏尔斯特拉斯已经42岁了，对大多数数学家而言，黄金时期已经过去，而对他而言，或许才刚刚开始。

【魏尔斯特拉斯|大器晚成的数学伟人—魏尔斯特拉斯】

在柏林期间，魏尔斯特拉斯完成了数学史上另一大创举，那就是分析（微积分）严格化的伟大工作。魏尔斯特拉斯在数学界有一个名号叫“流言终结者”，这是因为他曾举出过许多反例来说明一些直觉上的观点是错误的，其中尤以构造出“处处连续而处处不可微”的函数最为出名，这些反例的重要性在于突出了严密的理论基础对数学理论的重要性。在分析的严格化这一历程中，应该说柯西和魏尔斯特拉斯扮演了最重要的角色，而魏尔斯特拉斯的结果更接近于现代的形式，也更成功，比如我们非常熟悉的“-”语言就完全出自魏尔斯特拉斯之手。同时他还提出了许多新概念和定理，如一致收敛等，并严格地重新定义了极限、连续和导数等概念与函数逼近定理等。这些成果极大地造就了今天教科书中非常完善的数学分析体系。我们可以借用希尔伯特的评价来总结他的这一功绩:
“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的数学活动” 。

而在复变函数论上，魏尔斯特拉斯则与柯西和黎曼三足鼎立。柯西开创了复变函数积分理论，而黎曼则借助深刻的黎曼映射定理开创了复变函数的几何理论。魏尔斯特拉斯则利用幂级数定义了复函数的解析性，从而推导出整个单复变函数论，其结果也成为了如今复变函数教材的主体内容，亦可谓居功甚伟。庞加莱评价时说到："黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。"