指数函数的导数公式是如何推导出来的

文章插图
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1y=c(c为常数) y'=0
2y=x^n y'=nx^(n-1)
3y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4y=logax(a为底数，x为真数) y'=1/xlna
y=lnx y'=1/x
5y=sinx y'=cosx
6y=cosx y'=-sinx
7y=tanx y'=1/cos^2x
8y=cotx y'=-1/sin^2x
9y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11y=arctanx y'=1/1+x^2
12y=arccotx y'=-1/1+x^2
13y=u^v ==> y'=v'u^vlnu + u'u^(v-1)v
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?6?1g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』
2y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'
证：1显而易见， y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0 。用导数的定义做也是一样的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0 。
2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)
△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x
如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β) 。
所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna 。
把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna 。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x 。
4y=logax
△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x
△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x
因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有
lim△x→0△y/△x＝logae/x 。
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x 。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx?6?1(nlnx)'=x^n?6?1n/x=nx^(n-1) 。
5y=sinx
△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)
△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)?6?1lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx
6类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx 。
7y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8y=cotx=cosx/sinx
【指数函数的导数公式是如何推导出来的】y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x