微积分入门|ap微积分历年真题( 二 ) 「问人人知识网」

掌握长方形面积的计算方法后，就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说，如果不知道长方形面积的计算方法，也就无法计算三角形的面积。
这是因为，三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半” 。根据图2可知，三角形的面积正好是对应长方形面积的一半，也就是说“三角形的面积=底高2” 。

那平行四边形是什么情况呢？平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。

梯形的情况又如何呢？梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示，两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此，梯形的面积也是以长方形为基础计算的，为“（上底+下底）高2” 。

从三角形到平行四边形，再到梯形，虽然这三个图形看上去没什么直接关联，但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。
和变为了积分
计算圆的面积时，小学中采用的方法是百思特网用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简单，就是因为方格纸百思特网的方格是正方形。
求圆的面积，要领是精细地划分圆。也就是说，划分的形状应该不限于正方形。因此，我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。比如图8 ，我们尝试把圆分成细长的短条，也就是长方形的组合。

【微积分入门|ap微积分历年真题】

虽说如此，但既然说到了符号，从现在开始我们就尝试使用积分符号吧。公式也会从此处开始出现，不过内容和刚才的讲解是完全一致的，所以请轻松地读下去。和业界人士使用行业术语讲话一样，使用数学符号讲解数学，相同的内容在表达上也会看起来非常优雅。
在图9中，我们把圆裁切成非常窄的短条。水平方向为x轴。这时，圆的裁切方向和x轴正好是垂直关系。
在此基础之上，我们选取一条宽度为x的短条。是希腊字母，读作“德尔塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符号，表示非常小的数值。
现在，我们用公式来表示这条短条的面积。

短条的面积=短条在x值对应的长度x
若问为什么要算出短条面积，这是因为我们要从这里开始计算圆的面积。把这些细长短条的面积相加，就是圆的面积。具体来说，把从左端到右端的短条全部相加就可以了。
在这里，我们逐渐缩小短条的宽度，缩小到再也不能缩小的程度。这样一来，短条与其说是长方形，倒不如说看起来更像“一条线” 。无数根“线”相加，其结果逐渐接近“圆的面积” 。用积分符号来表示的话，可以写成以下形式。

公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同integral（积分）。积分原本就是“和”的意思，因此积分符号也是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S 。这是一位叫作莱布尼茨的数学家（兼哲学家）提出的。

在此简单补充一点儿德尔塔（）和d的内容。
和d ，这两个符号都源于“差”（difference）。二者的不同之处在于，是“近似值” ，而英文小写字母d是“精确值” 。
“精确值”是什么意思呢？例如圆周率， 3.14是其近似值，无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值” 。近似值在某种情况下必定是不正确的，而精确值在任何情况下都是正确的。