微积分入门|ap微积分历年真题( 四 ) 「问人人知识网」

也就是说，这个积分式子的答案和图48的半圆面积相等。即为

然后再乘以刚才跳过的16 ，可得圆环体的体积为

圆环体看上去像是两个圆相乘形成的图形，在其体积计算中出现的2次方确实非常有趣。在数学中，圆环体被定义为“圆和圆的笛卡儿积（准确来说，是圆环和圆周的笛卡儿积）” 。说圆环体是两个圆相乘的图形，可谓恰如其文字之意——不，是恰如数字之意。
像小学生那样求圆环体体积
前文说到的求解方法可以说是大人的解题方法。但是，这种方法很难向连勾股定理和积分符号都不知道的小学生解释。
不用前文的方法，该怎样分割呢？适合向小学生讲解的方法是“分割成细方格来求圆的面积” 。但是，逐一数方格数量会相当花费时间，所以我们来试一试新的方法。
为了转换思路，这里我先介绍一下“把圆分成扇形求圆面积的方法” 。我们的目标是求圆环体的体积，但这一目标可以通过使用与“把圆分成扇形求圆面积的方法”类似的思路来实现。圆环体是立体图形，所以很难整体去想象，不过若是圆的话便容易形象化了。
如图49所示，将圆分成细小的扇形，然后让扇形上下交叉相互交错排列。由此，我们便得到了一个“平行四边形” 。

当然，扇形的弧是弯曲的，所以形成的平行四边形也有些弯曲。但是，如果逐渐分割出更加细小的扇形，就几乎看不见弯曲的弧了，到了最后我们差不多就可以将弧看作直线段。通过无限分割出更小的扇形，平行四边形的精确度会大幅提升。这时，平行四边形的高就会恰好等于圆的半径，底边则等于圆周长的一半（半径）。也就是说，平行四边形的面积接近等于“半径半径” 。因此，圆的面积也就等于“半径半径” 。
以上内容即为推导圆面积公式的“小学生式”方法。
把甜甜圈变成蛇的方法
结合前文推导圆面积的“小学生式”方法，下面我们开始研究圆环体的体积。依然是用相同的思路，想办法分割圆环体。这次我们不水平分割了，来试试从垂直方向分割（图50）。

垂直分割圆环体后，所得的截面正好是小小的圆。
为了进一步研究截面的圆，我们先将其8等分。然后使用圆分割后的扇形交错排列的技巧，相互交错排列圆环体。
这样一来，圆环体就会被重构成弯弯曲曲的蛇形。

在这里使用的模型是美仕唐纳滋的白巧克力米粉甜甜圈。不用甜甜圈的话，用百吉圈也可以。先将甜甜圈8等分，如图53 。

把切好的甜甜圈交错排列，就会形成以下图形（图54）。

可以看到，重新排列后的甜甜圈确实变成了蛇形的立体图形。
在这里我们是将甜甜圈8等分，如果进行更加精细的分割，如100等分、200等分……蛇形的立体图形会更加接近圆柱形（横倒的圆柱形）。
也就是说，如图51所示，圆柱的底面是半径为2的圆，而高则是半径为4的圆的周长（圆围绕竖轴旋转一周的圆心轨迹长度），即8 。
因此，我们所求的圆环体体积，就转化成了底面积为2、高为8的圆柱（图55）的体积，即为

圆周率可以约等于3.14 ，代入3.14 ，可以求出圆环体的体积为315.507 2 cm 。

我们顺便来求一下白巧克力米粉甜甜圈的体积，甜甜圈截面圆的半径为1.5 cm ，甜甜圈的直径为8 cm 。