快乐的曲线教案( 三 )

，可解出
，
，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为
，我们就会发现：当x无限增大，
逐渐减小、无限接近于0，而
就逐渐增大、无限接近于1(
)；若将
变形为
，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线
的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线
的图形在远处与直线
无限接近，此时我们就称直线
叫做双曲线
的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。
利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线
(a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为
，
，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为
，
，可发现当x无限增大时，
逐渐减小、无限接近于0，
逐渐增大、无限接近于
，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比
小，与斜率为
的直线无限接近，且此点永远在直线
下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线
(a>0，b>0)的图形在远处与直线
无限接近，直线
叫做双曲线
(a>0，b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。
（2）证明如何证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线呢？
启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）
启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？
启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d
（工具是什么：点到直线的距离公式）
启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？
分析：要证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离
｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。
启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？
（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）
引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。